tugas matematika2 (makaah bilangan irasional)

BILANGAN IRASIONAL

Disusun untuk Memenuhi tugas Matematika 2

Dosen Pengampu Ida Nurmila Isandespha, S.Pd.

Disusun oleh:

1.      Siti Salimah                     10144600002

2.      Arum Pramistyasari      10144600063

3.      Rina Rahmawati            10144600054

PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA

2011

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan rahmat dan anugerah-Nya sehingga kami dapat menyelesaikan penyusunan makalah dengan judul “Bilangan Irasional”.

Penyusunan makalah ini bertujuan untuk memenuhi tugas Matematika 2 dan memberikan informasi kepada pembaca tentang Bilangan Irasional.

 Kami menyadari bahwa dalam penyusunan makalah ini ada pihak yang terlibat dalam memberikan bantuan dan dorongan selama penyusunan makalah ini. Untuk itu kami mengucapkan terima kasih kepada :

1.      Ida Nurmila Isandespha, S.Pd. selaku Dosen Pembimbing yang telah memberikan bimbingan dan pengarahan dalam penyusunan makalah ini.

2.      Keluarga yang selalu mencurahkan kasih saying dan pengertian, sehingga makalah ini dapat terselesaikan.

3.      Teman-teman yang telah memberikan dukungan, bantuan, dan diskusi selama ini.

4.      Semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan makalah ini.

 Makalah ini diharapkan dapat menambah pengetahuan kepada pembaca tentang Bilangan Irasional dan pada akhirnya dapat memanfaatkan ilmu yang diperoleh sebagaimana mestinya.

 Kami menyadari bahwa dalam penyusunan makalah ini banyak terdapat kesalahan dan kekeliruan. Untuk itu setiap saran, kritik, dan komentar sangat kami harapkan untuk perbaikan makalah ini.

Yogyakarta, 20 April 2011

Penyusun

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL................................................................................................

KATA PENGANTAR..............................................................................................

DAFTAR ISI............................................................................................................

BAB I    PENDAHULUAN

A.Latar Belakang......................................................................................

B.Rumusan Masalah.................................................................................

C.Tujuan Penulisan...................................................................................            

D.Manfaat Penulisan.................................................................................

BAB II    PEMBAHASAN

A.Pengertian Bilangan Irasional...............................................................

B.Permasalahan pada Bilangan Irasional..................................................

BAB III  PENUTUP

A.Kesimpulan............................................................................................

B.Saran......................................................................................................            

DAFTAR PUSTAKA...............................................................................................

BAB I

PENDAHULUAN

A.Latar Belakang Masalah

Saat ini masih adanya kurang pemahaman tentang bilangan irasional dan bilangan rasional. Hal ini sering terjadi terutama pada akar. Tidak semua bilangan yang diakar itu termasuk bilangan irasional, tetapi ada juga bilangan yang diakar termasuk bilangan rasional. Pembuktian bilangan rasional dan irasional dapat dilihat dari bentuk desimalnya.

B.Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah tersebut, maka rumusan masalahnya adalah sebagai berikut:

1.      Apa pengertian dari bilangan irasional?

2.      Apa saja permasalahan pada bilangan irasional?

C.Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan makalah adalah:

1.      Untuk memahami pengertian bilangan irasional

2.      Untuk mengetahui konsep bilangan irasional

D.Manfaat Penulisan

Manfaat penulisan makalah adalah:

1.      Untuk memperdalam pengetahuan tentang bilangan irasional

2.      Agar lebih memperdalam bilangan irasional

3.      Agar pembaca dapat membedakan antara bilangan rasional dan bilangan irasional

BAB II

PEMBAHASAN

A.    Pengertian Bilangan Irasional

Telah dibicarakan, bahwa setiap bilangan rasional dapat dinyatakan sebagai pecahan desimal berakhir atau pecahan desimal berulang teratur. Sebaliknya setiap pecahan desimal berakhir atau pecahan desimal, yang angka‑angkanya berulang teratur adalah bilangan rasional. Selanjutnya bilangan yang jika dinyatakan dalam bentuk pecahan desimal tidak akan berakhir dan tidak berulang maka bilangan itu merupakan bilangan irasional. Misalkan, 0,37337333733337333337... adalah bilangan irasional, sebab angka‑angkanya tidak berakhir dan tidak berulang teratur.

Bilangan Irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dengan  , dimana a, b  B dan b 0. Dalam matematika dilambangkan dengan huruf I.

Contoh:

1.    = 1,414213562…

2.    =1,732050…

3.       = 3,141592654…

Tetapi tidak semua bilangan di dalam tanda akar merupakan bentuk akar ( Irasional), karena ada bilangan yang berada dalam bentuk akar merupakan bilangan rasional.

Contoh:

1.  = 2

2.= 9

3. = 3

Bilangan  merupakan contoh bilangan irasional. bukan 3 atau 3,1416, tatapi adalah bilangan yang lambang desimalnya tidak berakhir dan tidak berulang. Pendekatan untuk sampai 20 angka desimal adalah: 3,14159265358979323846. Untuk mencari keliling lingkaran adalah . Kita sering menyebut dengan 3,14 atau , sebetulnya 3,14 merupakan nilai pendekatan yang dianggap cukup baik untuk kepentingan perhitungan.

B.     Permasalahan Bilangan Irasional

Contoh:

Pembuktian bilangan irasional.

Jawab :           Diasumsikan  rasional dan kemudian ditunjukkan bahwa akan terjadi kontradiksi. Sehingga  irasional.

Andaikan rasional.

Maka dapat ditulis sebagai hasil bagi dua bilangan bulat  sedemikian hingga a dan b relatif prima.

Jika  =  maka ( = 2 dan a² = 2b²

Karena 2b² bilangan bulat genap, maka a² adalah genap, demikian pula a. Mengapa?

Karena a genap, maka a dapat ditulis sebagai a = 2c, c bilangan bulat.

Didapat a² = 4c². Padahal a² = 2b², maka b² = 2c² , sehingga b² genap, akibatnya b genap.

Karena a dan b keduanya genap,      tentu mempunyai faktor persekutuan 2. Maka didapat keadaan yang kontradiksi dengan pengandaian. Sehingga pengandaian  bilangan rasional tidak benar. Jadi  irasional.

Akar pangkat dua dari semua bilangan positip kecuali bilangan kuadrat sempurna (1, 4, 9, 16,…) adalah bilangan irasional. Karena akar pangkat dua dari banyak bilangan adalah bilangan rasional, maka akan dibicarakan pendekatan desimal dari bilangan akar pangkat dua.

Cara untuk menentukan pendekatan desimal dari bilangan akar pangkat dua adalah metode rata-rata yang langkahnya sebagai berikut:

1.      Menentukan estimasi nilai pendekatan itu

2.      Menentukan hasil bagi bilangan yang diakar dengan bilangan estimasinya, dengan banyak angka desimal sebanyak yang dikehendaki.

3.      Menentukan nilai rata-rata dari bilangan estimasi dan hasil bagi. Nilai rata-rata yang diperoleh merupakan nilai pendekatan yang dicari.

4.      Untuk mendapat nilai pendekatan yang lebih teliti, dapat menggunakan nilai rata-rata yang diperoleh sebagai estimasi.

Contoh:

Tentukan nilai pendekatan .

= 1,96, kita pilih 1,4 sebagai estimasi 2:1,4= 1,42857

=1,414285

Untuk pendekatan yang lebih teliti kita gunakan nilai rata-rata sebagai estimasi

Kita pilih 1,414285 sebagai estimasi 2:1,414285=1,414285

1,4142135

BAB III

PENUTUP

A.Kesimpulan

Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dengan  , dengan b. Bilangan irasional adalah bilangan yang jika dinyatakan sebagai desimal tidak berakhir dan tidak berulang.  Tidak semua bilangan yang diakar merupakan bilangan irasional, karena ada bilangan yang diakar merupakan bilangan rasional. Bilangan yang termasuk bilangan irasional adalah bilangan yang merupakan akar pangkat dua dari semua bilangan bulat positip kecuali bilangan kuadrat sempurna(1, 4, 9, 16,…). Cara untuk menentukan pendekatan decimal dari bilangan akar pangkat dua adalah dengan metode rata-rata, yang langkah-langkahnya adalah:

1.      Menentukan estimasi nilai pendekatan itu

2.      Menentukan hasil bagi bilangan yang diakar dengan bilangan estimasinya, dengan banyak angka desimal sebanyak yang dikehendaki.

3.      Menentukan nilai rata-rata dari bilangan estimasi dan hasil bagi. Nilai rata-rata yang diperoleh merupakan nilai pendekatan yang dicari.

4.      Untuk mendapat nilai pendekatan yang lebih teliti, dapat menggunakan nilai rata-rata yang diperoleh sebagai estimasi.

B.Saran

Sebaiknya pembaca lebih memahami konsep antara bilangan rasional dengan irasional.

DAFTAR PUSTAKA

Sa’dijah, Cholis. 1999. Pendidikan Matematika II. Malang: Departemen Pendidikan dan Kebudayaan Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi Proyek Pendidikan Guru Sekolah Dasar.

Tim Penyusunan Kumpulan Modul Matematika. 2010. Kumpulan Modul Matematika SMK. Klaten: MGMP Matematika SMK Kelompok TI dan Pertanian.