tugas matematika (bilangan irasional)

Bilangan Irasional

Telah dibicarakan, bahwa setiap bilangan rasional dapat dinyatakan sebagai pecahan desimal. berakhir atau pecahan desimal berulang teratur. Sebaliknya setiap pecahan desimal berakhir atau pecahan desimal, yang angka‑angkanya berulang teratur adalah bilangan rasional. Selanjutnya bilangan yang jika dinyatakan dalam bentuk pecahan desimal tidak akan berakhir dan tidak berulang maka bilangan itu merupakan bilangan irasional. Misalkan, 0,37337333733337333337... adalah bilangan irasional, sebab angka‑angkanya tidak berakhir dan tidak berulang teratur.

Bilangan  merupakan contoh bilangan irasional. bukan 3 atau 3,1416, tatapi adalah bilangan yang lambang desimalnya tidak berakhir dan tidak berulang. Pendekatan untuk sampai 20 angka desimal adalah: 3,14159265358979323846.

Pada mulanya orang Yunani kuno menghabiskan waktu lama untuk membahas apakah ada bilangan selain bilangan rasional. Kenyataannya, dalam beberapa tahun, kelompok matematikawan dan Pythagoras menyatakan dengan tegas bahwa tidak ada bilangan yang tidak rasional.Tetapi pada suatu hari mereka mulai bertanya: Berapakah panjang sisi sebuah bujur sangkar yang luasnya 2? Tentu saja, jika panjang sisinya x, maka x . x = 2. Bilangan apakah yang dikalikan diri sendiri sama dengan 2? (atau berapakah akar pangkat dua dari 2, dinyatakan   Akhirnya dibuktikan bahwa  tidak rasional.

Contoh:

Buktikan bilangan irasional.

Jawab    :  Diasumsikan  rasional dan kemudian ditunjukkan bahwa akan terjadi kontradiksi. Sehingga  irasional.

Andaikan rasional.

Maka dapat ditulis sebagai hasil bagi dua bilangan bulat  sedemikian hingga a dan b relatif prima.

Jika  =  maka ( = 2 dan a² = 2b²

Karena 2b² bilangan bulat genap, maka a² adalah genap, demikian pula a. Mengapa?

Karena a genap, maka a dapat ditulis sebagai a = 2c, c bilangan bulat.

Didapat a² = 4c². Padahal a² = 2b², maka b² = 2c² , sehingga b² genap, akibatnya b genap.

Karena a dan b keduanya genap,        tentu mempunyai faktor persekutuan 2. Maka didapat keadaan yang kontradiksi dengan pengandaian. Sehingga pengandaian  bilangan rasional tidak benar. Jadi  irasional.

Selanjutnya, dapat dibuktikan bahwa akar pangkat dua dari semua bilangan bulat positip kecuali bilangan kuadrat sempurna (1, 4, 9, 16, … ) adalah bilangan irasional. Karena akar pangkat dua dari banyak bilangan rasional adalah bukan rasional, maka berikut ini akan dibicarakan pendekatan desimal dari bilangan akar pangkat dua. Salah satu algoritma untuk menentukan pendekatan desimal dari bilangan akar pangkat dua adalah metode rata‑rata yang langkah‑langkahnya sebagai berikut.

a)    Tentukan estimasi nilai pendekatan itu

b)    Tentukan hasil bagi bilangan yang diakar dengan bilangan estimasinya, dengan banyak angka desimal sebanyak yang dikehendaki.

c)    Tentukan nilai rata‑rata dari bilangan estimasi dan hasil bagi.Nilai rata‑rata yang diperoleh merupakan nilai pendekatan yang dicari.

d)    Untuk mendapat nilai pendekatan lebih teliti, gunakan nilai rata-rata yang diperoleh sebagai estimasi.

Ulangi prosesnya seperti langkah (b) dan (c). Lanjutkan sampai diperoleh ketelitian yang dikehendaki.

Contoh 1:

Tentukan nilai pendekatan  

Jawab:

Karena (1,4)²  = 1,96, kita pilih 1,4 sebagai estimasi 2 : 1,4 = 1,42857

Ulangilah proses di atas, dipilih 1,414285 sebagai estimasi

Dari pembicaraan di atas, bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai pecahan desimal berakhir atau berulang. sedang bilangan irasional adalah bilangan yang jika dinyatakan sebagai desimal tidak berakhir dan tidak berulang. Gabungan dari kedua himpunan bilangan tersebut dinamakan himpunan bilangan real atau nyata.